Risolvi 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 56x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

La soluzione è la coppia che restituisce -30 come somma.

$$a=-28 b=-2$$

Riscrivi 56x^{2}-30x+1 come \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Fattori in 28x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 56 a a, -30 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Eleva -30 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Moltiplica -4 per 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Aggiungi 900 a -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

L'opposto di -30 è 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Moltiplica 2 per 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{30±26}{112} quando ± è più. Aggiungi 30 a 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Riduci la frazione \frac{56}{112} ai minimi termini estraendo e annullando 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{30±26}{112} quando ± è meno. Sottrai 26 da 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Riduci la frazione \frac{4}{112} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

La divisione per 56 annulla la moltiplicazione per 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{56} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Dividi -\frac{15}{28}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{15}{56}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{15}{56} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{15}{56} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Aggiungi -\frac{1}{56} a \frac{225}{3136} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Fattore x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Aggiungi \frac{15}{56} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$