Risolvi 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2,410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1,410497317$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -5 a b e -17 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

Aggiungi 25 a 340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} quando ± è più. Aggiungi 5 a \sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

Dividi 5+\sqrt{365} per 10.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{365} da 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

Dividi 5-\sqrt{365} per 10.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Aggiungi 17 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

Sottraendo -17 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

Sottrai -17 da 0.

$$5x^{2}-5x=17$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

Dividi -5 per 5.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

Aggiungi \frac{17}{5} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$