Risolvi 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-5 b=1$$

Riscrivi 5x^{2}-4x-1 come \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Scomponi 5x in 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -4 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Aggiungi 16 a 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±6}{10} quando ± è più. Aggiungi 4 a 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividi 10 per 10.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±6}{10} quando ± è meno. Sottrai 6 da 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Dividi -\frac{4}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Aggiungi \frac{1}{5} a \frac{4}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Fattore x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Aggiungi \frac{2}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$