Risolvi 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -2 come somma.

$$a=-10 b=8$$

Riscrivi 5x^{2}-2x-16 come \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -2 a b e -16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Aggiungi 4 a 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±18}{10} quando ± è più. Aggiungi 2 a 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dividi 20 per 10.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±18}{10} quando ± è meno. Sottrai 18 da 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-16}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Sottraendo -16 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Sottrai -16 da 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Dividi -\frac{2}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Aggiungi \frac{16}{5} a \frac{1}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Fattore x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Aggiungi \frac{1}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$