Risolvi 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Trova t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -72 a b e -108 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -72 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Aggiungi 5184 a 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

L'opposto di -72 è 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} quando ± è più. Aggiungi 72 a 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Dividi 72+12\sqrt{51} per 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} quando ± è meno. Sottrai 12\sqrt{51} da 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Dividi 72-12\sqrt{51} per 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Aggiungi 108 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Sottraendo -108 da se stesso rimane 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Sottrai -108 da 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Dividi -\frac{72}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{36}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{36}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{36}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Aggiungi \frac{108}{5} a \frac{1296}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Fattore t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Aggiungi \frac{36}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$