Risolvi 5a^2+27a+10=0

$$5 a ^ { 2 } + 27 a + 10 = 0$$

Trova a

$$a=-5$$

$$a=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5a^{2}+aa+ba+10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=27 ab=5\times 10=50$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

La soluzione è la coppia che restituisce 27 come somma.

$$a=2 b=25$$

Riscrivi 5a^{2}+27a+10 come \left(5a^{2}+2a\right)+\left(25a+10\right).

$$\left(5a^{2}+2a\right)+\left(25a+10\right)$$

Fattori in a nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$a\left(5a+2\right)+5\left(5a+2\right)$$

Fattorizza il termine comune 5a+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5a+2\right)\left(a+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5a+2=0 e a+5=0.

$$a=-\frac{2}{5} a=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5a^{2}+27a+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 27 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Eleva 27 al quadrato.

$$a=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$a=\frac{-27±\sqrt{729-20\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 10.

$$a=\frac{-27±\sqrt{729-200}}{2\times 5}$$

Aggiungi 729 a -200.

$$a=\frac{-27±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 529.

$$a=\frac{-27±23}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$a=\frac{-27±23}{10}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{-27±23}{10} quando ± è più. Aggiungi -27 a 23.

$$a=-\frac{4}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$a=-\frac{2}{5}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{-27±23}{10} quando ± è meno. Sottrai 23 da -27.

$$a=-\frac{50}{10}$$

Dividi -50 per 10.

$$a=-5$$

L'equazione è stata risolta.

$$a=-\frac{2}{5} a=-5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5a^{2}+27a+10=0$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5a^{2}+27a+10-10=-10$$

Sottraendo 10 da se stesso rimane 0.

$$5a^{2}+27a=-10$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5a^{2}+27a}{5}=-\frac{10}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a=-\frac{10}{5}$$

Dividi -10 per 5.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a=-2$$

Dividi \frac{27}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{27}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{27}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a+\left(\frac{27}{10}\right)^{2}=-2+\left(\frac{27}{10}\right)^{2}$$

Eleva \frac{27}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a+\frac{729}{100}=-2+\frac{729}{100}$$

Aggiungi -2 a \frac{729}{100}.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a+\frac{729}{100}=\frac{529}{100}$$

Fattore a^{2}+\frac{27}{5}a+\frac{729}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{27}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(a+\frac{27}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Semplifica.

$$a+\frac{27}{10}=\frac{23}{10} a+\frac{27}{10}=-\frac{23}{10}$$

Sottrai \frac{27}{10} da entrambi i lati dell'equazione.

$$a=-\frac{2}{5} a=-5$$