Risolvi 5x^2-41x+42

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Scomponi in fattori

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 5x^{2}+ax+bx+42. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 210.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

La soluzione è la coppia che restituisce -41 come somma.

$$a=-35 b=-6$$

Riscrivi 5x^{2}-41x+42 come \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Fattori in 5x nel primo e -6 nel secondo gruppo.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Eleva -41 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

Aggiungi 1681 a -840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

L'opposto di -41 è 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{41±29}{10} quando ± è più. Aggiungi 41 a 29.

$$x=\frac{70}{10}$$

Dividi 70 per 10.

$$x=7$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{41±29}{10} quando ± è meno. Sottrai 29 da 41.

$$x=\frac{12}{10}$$

Riduci la frazione \frac{12}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con 7 e x_{2} con \frac{6}{5}.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Sottrai \frac{6}{5} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

Annulla il massimo comune divisore 5 in 5 e 5.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Calcola

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$