Risolvi 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -12 a b e -7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Aggiungi 144 a 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} quando ± è più. Aggiungi 12 a 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

Dividi 12+2\sqrt{71} per 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{71} da 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

Dividi 12-2\sqrt{71} per 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Sottraendo -7 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Sottrai -7 da 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Dividi -\frac{12}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{6}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{6}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{6}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Aggiungi \frac{7}{5} a \frac{36}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Fattore x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Aggiungi \frac{6}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$