Risolvi 49n^2+168n+144

$$49 n ^ { 2 } + 168 n + 144$$

Scomponi in fattori

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 49n^{2}+an+bn+144. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=168 ab=49\times 144=7056$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 7056.

$$1,7056 2,3528 3,2352 4,1764 6,1176 7,1008 8,882 9,784 12,588 14,504 16,441 18,392 21,336 24,294 28,252 36,196 42,168 48,147 49,144 56,126 63,112 72,98 84,84$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+7056=7057 2+3528=3530 3+2352=2355 4+1764=1768 6+1176=1182 7+1008=1015 8+882=890 9+784=793 12+588=600 14+504=518 16+441=457 18+392=410 21+336=357 24+294=318 28+252=280 36+196=232 42+168=210 48+147=195 49+144=193 56+126=182 63+112=175 72+98=170 84+84=168$$

La soluzione è la coppia che restituisce 168 come somma.

$$a=84 b=84$$

Riscrivi 49n^{2}+168n+144 come \left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right).

$$\left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right)$$

Fattori in 7n nel primo e 12 nel secondo gruppo.

$$7n\left(7n+12\right)+12\left(7n+12\right)$$

Fattorizza il termine comune 7n+12 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(49n^{2}+168n+144)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(49,168,144)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Trova la radice quadrata del termine finale 144.

$$\sqrt{144}=12$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}+168n+144=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n=\frac{-168±\sqrt{168^{2}-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Eleva 168 al quadrato.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Moltiplica -4 per 49.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-196\times 144}}{2\times 49}$$

Moltiplica -196 per 144.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-28224}}{2\times 49}$$

Aggiungi 28224 a -28224.

$$n=\frac{-168±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$n=\frac{-168±0}{2\times 49}$$

Moltiplica 2 per 49.

$$n=\frac{-168±0}{98}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{12}{7} e x_{2} con -\frac{12}{7}.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n+\frac{12}{7}\right)\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Aggiungi \frac{12}{7} a n trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Aggiungi \frac{12}{7} a n trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\times \frac{7n+12}{7}$$

Moltiplica \frac{7n+12}{7} per \frac{7n+12}{7} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{7\times 7}$$

Moltiplica 7 per 7.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{49}$$

Annulla il massimo comune divisore 49 in 49 e 49.

$$49n^{2}+168n+144=\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Calcola

$$\left(7n+12\right)^{2}$$