Risolvi 40x-5x^2=60

$$40x-5 { x }^{ 2 } =60$$

Trova x

$$x=2$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 60 da entrambi i lati.

$$40x-5x^{2}-60=0$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$8x-x^{2}-12=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+8x-12=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=8 ab=-\left(-12\right)=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

La soluzione è la coppia che restituisce 8 come somma.

$$a=6 b=2$$

Riscrivi -x^{2}+8x-12 come \left(-x^{2}+6x\right)+\left(2x-12\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(2x-12\right)$$

Fattori in -x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-6\right)+2\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(-x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e -x+2=0.

$$x=6 x=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-5x^{2}+40x=60$$

Sottrai 60 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-5x^{2}+40x-60=60-60$$

Sottraendo 60 da se stesso rimane 0.

$$-5x^{2}+40x-60=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -5 a a, 40 a b e -60 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-5\right)\left(-60\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Eleva 40 al quadrato.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-5\right)\left(-60\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica -4 per -5.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+20\left(-60\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 20 per -60.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1200}}{2\left(-5\right)}$$

Aggiungi 1600 a -1200.

$$x=\frac{-40±\sqrt{400}}{2\left(-5\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 400.

$$x=\frac{-40±20}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 2 per -5.

$$x=\frac{-40±20}{-10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-40±20}{-10} quando ± è più. Aggiungi -40 a 20.

$$x=-\frac{20}{-10}$$

Dividi -20 per -10.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-40±20}{-10} quando ± è meno. Sottrai 20 da -40.

$$x=-\frac{60}{-10}$$

Dividi -60 per -10.

$$x=6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+40x=60$$

Dividi entrambi i lati per -5.

$$\frac{-5x^{2}+40x}{-5}=\frac{60}{-5}$$

La divisione per -5 annulla la moltiplicazione per -5.

$$x^{2}+\frac{40}{-5}x=\frac{60}{-5}$$

Dividi 40 per -5.

$$x^{2}-8x=\frac{60}{-5}$$

Dividi 60 per -5.

$$x^{2}-8x=-12$$

Dividi -8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -4. Quindi aggiungi il quadrato di -4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Aggiungi -12 a 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Fattore x^{2}-8x+16. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=2$$