Risolvi 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Trova x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Combina 40x e 60x per ottenere 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Sottrai 200 da entrambi i lati.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -4 a a, 100 a b e -200 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Eleva 100 al quadrato.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica -4 per -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 16 per -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Aggiungi 10000 a -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 2 per -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} quando ± è più. Aggiungi -100 a 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Dividi -100+20\sqrt{17} per -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} quando ± è meno. Sottrai 20\sqrt{17} da -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Dividi -100-20\sqrt{17} per -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Combina 40x e 60x per ottenere 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

La divisione per -4 annulla la moltiplicazione per -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Dividi 100 per -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Dividi 200 per -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Dividi -25, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{25}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{25}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{25}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Aggiungi -50 a \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Fattore x^{2}-25x+\frac{625}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Aggiungi \frac{25}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$