Risolvi 40x=(30-x)^2

$$40 x = ( 30 - x ) ^ { 2 }$$

Trova x

$$x=10$$

$$x=90$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(30-x\right)^{2}.

$$40x=900-60x+x^{2}$$

Sottrai 900 da entrambi i lati.

$$40x-900=-60x+x^{2}$$

Aggiungi 60x a entrambi i lati.

$$40x-900+60x=x^{2}$$

Combina 40x e 60x per ottenere 100x.

$$100x-900=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$100x-900-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+100x-900=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-900. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=100 ab=-\left(-900\right)=900$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 900.

$$1,900 2,450 3,300 4,225 5,180 6,150 9,100 10,90 12,75 15,60 18,50 20,45 25,36 30,30$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+900=901 2+450=452 3+300=303 4+225=229 5+180=185 6+150=156 9+100=109 10+90=100 12+75=87 15+60=75 18+50=68 20+45=65 25+36=61 30+30=60$$

La soluzione è la coppia che restituisce 100 come somma.

$$a=90 b=10$$

Riscrivi -x^{2}+100x-900 come \left(-x^{2}+90x\right)+\left(10x-900\right).

$$\left(-x^{2}+90x\right)+\left(10x-900\right)$$

Fattori in -x nel primo e 10 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-90\right)+10\left(x-90\right)$$

Fattorizza il termine comune x-90 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-90\right)\left(-x+10\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-90=0 e -x+10=0.

$$x=90 x=10$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(30-x\right)^{2}.

$$40x=900-60x+x^{2}$$

Sottrai 900 da entrambi i lati.

$$40x-900=-60x+x^{2}$$

Aggiungi 60x a entrambi i lati.

$$40x-900+60x=x^{2}$$

Combina 40x e 60x per ottenere 100x.

$$100x-900=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$100x-900-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+100x-900=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 100 a b e -900 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-1\right)\left(-900\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 100 al quadrato.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-1\right)\left(-900\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+4\left(-900\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -900.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3600}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 10000 a -3600.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6400}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 6400.

$$x=\frac{-100±80}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-100±80}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-100±80}{-2} quando ± è più. Aggiungi -100 a 80.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Dividi -20 per -2.

$$x=10$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-100±80}{-2} quando ± è meno. Sottrai 80 da -100.

$$x=-\frac{180}{-2}$$

Dividi -180 per -2.

$$x=90$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=10 x=90$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(30-x\right)^{2}.

$$40x=900-60x+x^{2}$$

Aggiungi 60x a entrambi i lati.

$$40x+60x=900+x^{2}$$

Combina 40x e 60x per ottenere 100x.

$$100x=900+x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$100x-x^{2}=900$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+100x=900$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+100x}{-1}=\frac{900}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{100}{-1}x=\frac{900}{-1}$$

Dividi 100 per -1.

$$x^{2}-100x=\frac{900}{-1}$$

Dividi 900 per -1.

$$x^{2}-100x=-900$$

Dividi -100, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -50. Quindi aggiungi il quadrato di -50 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-100x+\left(-50\right)^{2}=-900+\left(-50\right)^{2}$$

Eleva -50 al quadrato.

$$x^{2}-100x+2500=-900+2500$$

Aggiungi -900 a 2500.

$$x^{2}-100x+2500=1600$$

Fattore x^{2}-100x+2500. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-50\right)^{2}=1600$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-50\right)^{2}}=\sqrt{1600}$$

Semplifica.

$$x-50=40 x-50=-40$$

Aggiungi 50 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=90 x=10$$