Risolvi 4y(y-1)+1=0

$$4 y ( y - 1 ) + 1 = 0$$

Trova y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4y per y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4y^{2}+ay+by+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-2 b=-2$$

Riscrivi 4y^{2}-4y+1 come \left(4y^{2}-2y\right)+\left(-2y+1\right).

$$\left(4y^{2}-2y\right)+\left(-2y+1\right)$$

Fattori in 2y nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$2y\left(2y-1\right)-\left(2y-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2y-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(2y-1\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 2y-1=0.

$$y=\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4y per y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -4 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a -16.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$y=-\frac{-4}{2\times 4}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$y=\frac{4}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$y=\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{4}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y=\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4y per y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$4y^{2}-4y=-1$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=-\frac{1}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=-\frac{1}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$y^{2}-y=-\frac{1}{4}$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Aggiungi -\frac{1}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=0$$

Fattore y^{2}-y+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$y-\frac{1}{2}=0 y-\frac{1}{2}=0$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{1}{2} y=\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$y=\frac{1}{2}$$