Risolvi 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 28 a b e 53 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Eleva 28 al quadrato.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Aggiungi 784 a -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-28±8i}{8} quando ± è più. Aggiungi -28 a 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Dividi -28+8i per 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-28±8i}{8} quando ± è meno. Sottrai 8i da -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Dividi -28-8i per 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Sottrai 53 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Sottraendo 53 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Dividi 28 per 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Dividi 7, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Aggiungi -\frac{53}{4} a \frac{49}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Fattore x^{2}+7x+\frac{49}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Sottrai \frac{7}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$