Risolvi 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 21 da entrambi i lati.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Sottrai 21 da 1 per ottenere -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-4 b=5$$

Riscrivi 2x^{2}+x-10 come \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Sottrai 21 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Sottraendo 21 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Sottrai 21 da 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 2 a b e -20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Aggiungi 4 a 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±18}{8} quando ± è più. Aggiungi -2 a 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Dividi 16 per 8.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±18}{8} quando ± è meno. Sottrai 18 da -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Sottrai 1 da 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Riduci la frazione \frac{2}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Dividi 20 per 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Dividi \frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Aggiungi 5 a \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Sottrai \frac{1}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$