Risolvi 4a^2+8a-45

$$4 a ^ { 2 } + 8 a - 45$$

Scomponi in fattori

$$\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 4a^{2}+pa+qa-45. Per trovare p e q, configurare un sistema da risolvere.

$$p+q=8 pq=4\left(-45\right)=-180$$

Poiché pq è negativo, p e q hanno i segni opposti. Poiché p+q è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 8 come somma.

$$p=-10 q=18$$

Riscrivi 4a^{2}+8a-45 come \left(4a^{2}-10a\right)+\left(18a-45\right).

$$\left(4a^{2}-10a\right)+\left(18a-45\right)$$

Fattori in 2a nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$2a\left(2a-5\right)+9\left(2a-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 2a-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$4a^{2}+8a-45=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$a=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 8 al quadrato.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -45.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64+720}}{2\times 4}$$

Aggiungi 64 a 720.

$$a=\frac{-8±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 784.

$$a=\frac{-8±28}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$a=\frac{-8±28}{8}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{-8±28}{8} quando ± è più. Aggiungi -8 a 28.

$$a=\frac{20}{8}$$

Riduci la frazione \frac{20}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$a=\frac{5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{-8±28}{8} quando ± è meno. Sottrai 28 da -8.

$$a=-\frac{36}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-36}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$a=-\frac{9}{2}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{5}{2} e x_{2} con -\frac{9}{2}.

$$4a^{2}+8a-45=4\left(a-\frac{5}{2}\right)\left(a-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$4a^{2}+8a-45=4\left(a-\frac{5}{2}\right)\left(a+\frac{9}{2}\right)$$

Sottrai \frac{5}{2} da a trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4a^{2}+8a-45=4\times \frac{2a-5}{2}\left(a+\frac{9}{2}\right)$$

Aggiungi \frac{9}{2} a a trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4a^{2}+8a-45=4\times \frac{2a-5}{2}\times \frac{2a+9}{2}$$

Moltiplica \frac{2a-5}{2} per \frac{2a+9}{2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4a^{2}+8a-45=4\times \frac{\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$4a^{2}+8a-45=4\times \frac{\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)}{4}$$

Annulla il massimo comune divisore 4 in 4 e 4.

$$4a^{2}+8a-45=\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)$$

Calcola

$$\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)$$