Risolvi 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

Trova y

$$y=-1$$

$$y=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 4.

$$y^{2}-y-2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come y^{2}+ay+by-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-2 b=1$$

Riscrivi y^{2}-y-2 come \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right).

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

Scomponi y in y^{2}-2y.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

Fattorizza il termine comune y-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-2=0 e y+1=0.

$$y=2 y=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -4 a b e -8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 144.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{4±12}{8} quando ± è più. Aggiungi 4 a 12.

$$y=\frac{16}{8}$$

Dividi 16 per 8.

$$y=2$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{4±12}{8} quando ± è meno. Sottrai 12 da 4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Dividi -8 per 8.

$$y=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=2 y=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Aggiungi 8 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Sottraendo -8 da se stesso rimane 0.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

Sottrai -8 da 0.

$$4y^{2}-4y=8$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

Dividi 8 per 4.

$$y^{2}-y=2$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 2 a \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore y^{2}-y+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=2 y=-1$$