Risolvi 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -4 a b e -16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} quando ± è più. Aggiungi 4 a 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Dividi 4+4\sqrt{17} per 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{17} da 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Dividi 4-4\sqrt{17} per 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Sottraendo -16 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Sottrai -16 da 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Dividi 16 per 4.

$$x^{2}-x=4$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 4 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$