Risolvi 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Trova x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0,692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 39x^{2}+ax+bx-9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=-13 b=27$$

Riscrivi 39x^{2}+14x-9 come \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

Fattori in 13x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-1=0 e 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 39 a a, 14 a b e -9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Eleva 14 al quadrato.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Moltiplica -4 per 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Moltiplica -156 per -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Aggiungi 196 a 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Calcola la radice quadrata di 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Moltiplica 2 per 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±40}{78} quando ± è più. Aggiungi -14 a 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Riduci la frazione \frac{26}{78} ai minimi termini estraendo e annullando 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±40}{78} quando ± è meno. Sottrai 40 da -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Riduci la frazione \frac{-54}{78} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Sottraendo -9 da se stesso rimane 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Sottrai -9 da 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Dividi entrambi i lati per 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

La divisione per 39 annulla la moltiplicazione per 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Riduci la frazione \frac{9}{39} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Dividi \frac{14}{39}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{39}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{39} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{39} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Aggiungi \frac{3}{13} a \frac{49}{1521} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Fattore x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Sottrai \frac{7}{39} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$