Risolvi 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Scomponi in fattori

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Moltiplica e combina i termini simili.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Per Scomponi in fattori l'espressione, risolvere l'equazione dove è uguale a 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -16 e q divide il coefficiente iniziale 3. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-4$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 per x+4 per ottenere 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Per fattorizzare il risultato, risolvi l'equazione quando uguale a 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -4 e q divide il coefficiente iniziale 3. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-4$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi 3x^{3}+12x^{2}-x-4 per x+4 per ottenere 3x^{2}-1. Per fattorizzare il risultato, risolvi l'equazione quando uguale a 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 3 con a, 0 con b e -1 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Risolvi l'equazione 3x^{2}-1=0 quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata utilizzando le radici ottenute. Il polinomio 3x^{2}-1 non è fattorizzato perché non contiene radici razionali.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Calcola

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Combina 48x^{2} e -x^{2} per ottenere 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$