Risolvi 3x^2+3x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}\approx -0,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}\approx -0,5-1,658312395i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 3 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 9}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-108}}{2\times 3}$$

Aggiungi 9 a -108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-99}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di -99.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} quando ± è più. Aggiungi -3 a 3i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{11}i}{6}$$

Dividi -3+3i\sqrt{11} per 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} quando ± è meno. Sottrai 3i\sqrt{11} da -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i-3}{6}$$

Dividi -3-3i\sqrt{11} per 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+3x+9-9=-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+3x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{9}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Dividi 3 per 3.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{3}$$

Dividi -9 per 3.

$$x^{2}+x=-3$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Aggiungi -3 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$