Risolvi 3x^2+10x+8=0

$$3 x ^ { 2 } + 10 x + 8 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=-2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=3\times 8=24$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=4 b=6$$

Riscrivi 3x^{2}+10x+8 come \left(3x^{2}+4x\right)+\left(6x+8\right).

$$\left(3x^{2}+4x\right)+\left(6x+8\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x+4\right)+2\left(3x+4\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x+4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+4\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x+4=0 e x+2=0.

$$x=-\frac{4}{3} x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+10x+8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 10 a b e 8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\times 8}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\times 3}$$

Aggiungi 100 a -96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-10±2}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-10±2}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±2}{6} quando ± è più. Aggiungi -10 a 2.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-8}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±2}{6} quando ± è meno. Sottrai 2 da -10.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Dividi -12 per 6.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{4}{3} x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+10x+8=0$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+10x+8-8=-8$$

Sottraendo 8 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+10x=-8$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=-\frac{8}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Dividi \frac{10}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Aggiungi -\frac{8}{3} a \frac{25}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Sottrai \frac{5}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{4}{3} x=-2$$