Risolvi 3q^2+q-14=0

$$3 q ^ { 2 } + q - 14 = 0$$

Trova q

$$q = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$q=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3q^{2}+aq+bq-14. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=3\left(-14\right)=-42$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-6 b=7$$

Riscrivi 3q^{2}+q-14 come \left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right).

$$\left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right)$$

Fattori in 3q nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$3q\left(q-2\right)+7\left(q-2\right)$$

Fattorizza il termine comune q-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(q-2\right)\left(3q+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere q-2=0 e 3q+7=0.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3q^{2}+q-14=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 1 a b e -14 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -14.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 3}$$

Aggiungi 1 a 168.

$$q=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$q=\frac{-1±13}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$q=\frac{-1±13}{6}$$

Ora risolvi l'equazione q=\frac{-1±13}{6} quando ± è più. Aggiungi -1 a 13.

$$q=\frac{12}{6}$$

Dividi 12 per 6.

$$q=2$$

Ora risolvi l'equazione q=\frac{-1±13}{6} quando ± è meno. Sottrai 13 da -1.

$$q=-\frac{14}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$q=-\frac{7}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}+q-14=0$$

Aggiungi 14 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3q^{2}+q-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Sottraendo -14 da se stesso rimane 0.

$$3q^{2}+q=-\left(-14\right)$$

Sottrai -14 da 0.

$$3q^{2}+q=14$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3q^{2}+q}{3}=\frac{14}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q=\frac{14}{3}$$

Dividi \frac{1}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{14}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{14}{3}+\frac{1}{36}$$

Aggiungi \frac{14}{3} a \frac{1}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{169}{36}$$

Fattore q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Semplifica.

$$q+\frac{1}{6}=\frac{13}{6} q+\frac{1}{6}=-\frac{13}{6}$$

Sottrai \frac{1}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$