Risolvi 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Trova n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 1141 da entrambi i lati.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Sottrai 1141 da 1 per ottenere -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come n^{2}+an+bn-380. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-19 b=20$$

Riscrivi n^{2}+n-380 come \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Fattori in n nel primo e 20 nel secondo gruppo.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Fattorizza il termine comune n-19 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-19=0 e n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Sottrai 1141 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Sottraendo 1141 da se stesso rimane 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Sottrai 1141 da 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 3 a b e -1140 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Aggiungi 9 a 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-3±117}{6} quando ± è più. Aggiungi -3 a 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Dividi 114 per 6.

$$n=19$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-3±117}{6} quando ± è meno. Sottrai 117 da -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Dividi -120 per 6.

$$n=-20$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=19 n=-20$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Sottrai 1 da 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Dividi 3 per 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Dividi 1140 per 3.

$$n^{2}+n=380$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 380 a \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Fattore n^{2}+n+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Semplifica.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$n=19 n=-20$$