Risolvi 27x^2-36x-20=0

$$27 x ^ { 2 } - 36 x - 20 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{4\sqrt{6}}{9}+\frac{2}{3}\approx 1,755328775$$

$$x=-\frac{4\sqrt{6}}{9}+\frac{2}{3}\approx -0,421995441$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$27x^{2}-36x-20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 27 a a, -36 a b e -20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 27\left(-20\right)}}{2\times 27}$$

Eleva -36 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 27\left(-20\right)}}{2\times 27}$$

Moltiplica -4 per 27.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-108\left(-20\right)}}{2\times 27}$$

Moltiplica -108 per -20.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296+2160}}{2\times 27}$$

Aggiungi 1296 a 2160.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{3456}}{2\times 27}$$

Calcola la radice quadrata di 3456.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±24\sqrt{6}}{2\times 27}$$

L'opposto di -36 è 36.

$$x=\frac{36±24\sqrt{6}}{2\times 27}$$

Moltiplica 2 per 27.

$$x=\frac{36±24\sqrt{6}}{54}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{36±24\sqrt{6}}{54} quando ± è più. Aggiungi 36 a 24\sqrt{6}.

$$x=\frac{24\sqrt{6}+36}{54}$$

Dividi 36+24\sqrt{6} per 54.

$$x=\frac{4\sqrt{6}}{9}+\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{36±24\sqrt{6}}{54} quando ± è meno. Sottrai 24\sqrt{6} da 36.

$$x=\frac{36-24\sqrt{6}}{54}$$

Dividi 36-24\sqrt{6} per 54.

$$x=-\frac{4\sqrt{6}}{9}+\frac{2}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{4\sqrt{6}}{9}+\frac{2}{3} x=-\frac{4\sqrt{6}}{9}+\frac{2}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}-36x-20=0$$

Aggiungi 20 a entrambi i lati dell'equazione.

$$27x^{2}-36x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Sottraendo -20 da se stesso rimane 0.

$$27x^{2}-36x=-\left(-20\right)$$

Sottrai -20 da 0.

$$27x^{2}-36x=20$$

Dividi entrambi i lati per 27.

$$\frac{27x^{2}-36x}{27}=\frac{20}{27}$$

La divisione per 27 annulla la moltiplicazione per 27.

$$x^{2}+\left(-\frac{36}{27}\right)x=\frac{20}{27}$$

Riduci la frazione \frac{-36}{27} ai minimi termini estraendo e annullando 9.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{20}{27}$$

Dividi -\frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{20}{27}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{20}{27}+\frac{4}{9}$$

Aggiungi \frac{20}{27} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{32}{27}$$

Fattore x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{32}{27}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{32}{27}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{9} x-\frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{6}}{9}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4\sqrt{6}}{9}+\frac{2}{3} x=-\frac{4\sqrt{6}}{9}+\frac{2}{3}$$