Risolvi 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Trova y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 25y^{2}+ay+by-63. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

La soluzione è la coppia che restituisce -54 come somma.

$$a=-75 b=21$$

Riscrivi 25y^{2}-54y-63 come \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Fattori in 25y nel primo e 21 nel secondo gruppo.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Fattorizza il termine comune y-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-3=0 e 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 25 a a, -54 a b e -63 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Eleva -54 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Aggiungi 2916 a 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

L'opposto di -54 è 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{54±96}{50} quando ± è più. Aggiungi 54 a 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Dividi 150 per 50.

$$y=3$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{54±96}{50} quando ± è meno. Sottrai 96 da 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Riduci la frazione \frac{-42}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Aggiungi 63 a entrambi i lati dell'equazione.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Sottraendo -63 da se stesso rimane 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Sottrai -63 da 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Dividi entrambi i lati per 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

La divisione per 25 annulla la moltiplicazione per 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Dividi -\frac{54}{25}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{27}{25}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{27}{25} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{27}{25} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Aggiungi \frac{63}{25} a \frac{729}{625} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Fattore y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Aggiungi \frac{27}{25} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$