Risolvi 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Combina 25x^{2} e -x^{2} per ottenere 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 24x^{2}+ax+bx-25. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -10 come somma.

$$a=-30 b=20$$

Riscrivi 24x^{2}-10x-25 come \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Fattori in 6x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-5=0 e 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Combina 25x^{2} e -x^{2} per ottenere 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 24 a a, -10 a b e -25 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -4 per 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -96 per -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Aggiungi 100 a 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Calcola la radice quadrata di 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Moltiplica 2 per 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±50}{48} quando ± è più. Aggiungi 10 a 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Riduci la frazione \frac{60}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±50}{48} quando ± è meno. Sottrai 50 da 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Riduci la frazione \frac{-40}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Procedura per completare il quadrato

Combina 25x^{2} e -x^{2} per ottenere 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Aggiungi 25 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$24x^{2}-10x=25$$

Dividi entrambi i lati per 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

La divisione per 24 annulla la moltiplicazione per 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Dividi -\frac{5}{12}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{24}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{24} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{24} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Aggiungi \frac{25}{24} a \frac{25}{576} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Aggiungi \frac{5}{24} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$