Risolvi 24x^2+38x+15

$$24 x ^ { 2 } + 38 x + 15$$

Scomponi in fattori

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 24x^{2}+ax+bx+15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=38 ab=24\times 15=360$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

La soluzione è la coppia che restituisce 38 come somma.

$$a=18 b=20$$

Riscrivi 24x^{2}+38x+15 come \left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right)$$

Fattori in 6x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$6x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+38x+15=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Eleva 38 al quadrato.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Moltiplica -4 per 24.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Moltiplica -96 per 15.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Aggiungi 1444 a -1440.

$$x=\frac{-38±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-38±2}{2\times 24}$$

Moltiplica 2 per 24.

$$x=\frac{-38±2}{48}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-38±2}{48} quando ± è più. Aggiungi -38 a 2.

$$x=-\frac{36}{48}$$

Riduci la frazione \frac{-36}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 12.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-38±2}{48} quando ± è meno. Sottrai 2 da -38.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Riduci la frazione \frac{-40}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{3}{4} e x_{2} con -\frac{5}{6}.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Aggiungi \frac{3}{4} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Aggiungi \frac{5}{6} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{6x+5}{6}$$

Moltiplica \frac{4x+3}{4} per \frac{6x+5}{6} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{4\times 6}$$

Moltiplica 4 per 6.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{24}$$

Annulla il massimo comune divisore 24 in 24 e 24.

$$24x^{2}+38x+15=\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Calcola

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$