Risolvi 24x^2+10x-21

$$24 { x }^{ 2 } +10x-21$$

Scomponi in fattori

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 24x^{2}+ax+bx-21. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=24\left(-21\right)=-504$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -504.

$$-1,504 -2,252 -3,168 -4,126 -6,84 -7,72 -8,63 -9,56 -12,42 -14,36 -18,28 -21,24$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+504=503 -2+252=250 -3+168=165 -4+126=122 -6+84=78 -7+72=65 -8+63=55 -9+56=47 -12+42=30 -14+36=22 -18+28=10 -21+24=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=-18 b=28$$

Riscrivi 24x^{2}+10x-21 come \left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right).

$$\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right)$$

Fattori in 6x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$6x\left(4x-3\right)+7\left(4x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+10x-21=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -4 per 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -96 per -21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+2016}}{2\times 24}$$

Aggiungi 100 a 2016.

$$x=\frac{-10±\sqrt{2116}}{2\times 24}$$

Calcola la radice quadrata di 2116.

$$x=\frac{-10±46}{2\times 24}$$

Moltiplica 2 per 24.

$$x=\frac{-10±46}{48}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±46}{48} quando ± è più. Aggiungi -10 a 46.

$$x=\frac{36}{48}$$

Riduci la frazione \frac{36}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±46}{48} quando ± è meno. Sottrai 46 da -10.

$$x=-\frac{56}{48}$$

Riduci la frazione \frac{-56}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{7}{6}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{4} e x_{2} con -\frac{7}{6}.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{6}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Sottrai \frac{3}{4} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Aggiungi \frac{7}{6} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{6x+7}{6}$$

Moltiplica \frac{4x-3}{4} per \frac{6x+7}{6} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{4\times 6}$$

Moltiplica 4 per 6.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{24}$$

Annulla il massimo comune divisore 24 in 24 e 24.

$$24x^{2}+10x-21=\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Calcola

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$