Risolvi 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0,239130435+0,578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0,239130435-0,578031991i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 23 a a, 11 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Moltiplica -4 per 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Moltiplica -92 per 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Aggiungi 121 a -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Calcola la radice quadrata di -707.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Moltiplica 2 per 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} quando ± è più. Aggiungi -11 a i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{707} da -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

La divisione per 23 annulla la moltiplicazione per 23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Dividi \frac{11}{23}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{11}{46}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{11}{46} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{46} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Aggiungi -\frac{9}{23} a \frac{121}{2116} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Fattore x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Sottrai \frac{11}{46} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$