Risolvi 20n^2-7n-3

$$20 n ^ { 2 } - 7 n - 3$$

Scomponi in fattori

$$\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 20n^{2}+an+bn-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=20\left(-3\right)=-60$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-12 b=5$$

Riscrivi 20n^{2}-7n-3 come \left(20n^{2}-12n\right)+\left(5n-3\right).

$$\left(20n^{2}-12n\right)+\left(5n-3\right)$$

Scomponi 4n in 20n^{2}-12n.

$$4n\left(5n-3\right)+5n-3$$

Fattorizza il termine comune 5n-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$20n^{2}-7n-3=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Moltiplica -4 per 20.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Moltiplica -80 per -3.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+240}}{2\times 20}$$

Aggiungi 49 a 240.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±17}{2\times 20}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$n=\frac{7±17}{2\times 20}$$

Moltiplica 2 per 20.

$$n=\frac{7±17}{40}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{7±17}{40} quando ± è più. Aggiungi 7 a 17.

$$n=\frac{24}{40}$$

Riduci la frazione \frac{24}{40} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$n=\frac{3}{5}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{7±17}{40} quando ± è meno. Sottrai 17 da 7.

$$n=-\frac{10}{40}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{40} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$n=-\frac{1}{4}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{5} e x_{2} con -\frac{1}{4}.

$$20n^{2}-7n-3=20\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$20n^{2}-7n-3=20\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n+\frac{1}{4}\right)$$

Sottrai \frac{3}{5} da n trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$20n^{2}-7n-3=20\times \frac{5n-3}{5}\left(n+\frac{1}{4}\right)$$

Aggiungi \frac{1}{4} a n trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$20n^{2}-7n-3=20\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{4n+1}{4}$$

Moltiplica \frac{5n-3}{5} per \frac{4n+1}{4} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$20n^{2}-7n-3=20\times \frac{\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)}{5\times 4}$$

Moltiplica 5 per 4.

$$20n^{2}-7n-3=20\times \frac{\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)}{20}$$

Annulla il massimo comune divisore 20 in 20 e 20.

$$20n^{2}-7n-3=\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)$$

Calcola

$$\left(5n-3\right)\left(4n+1\right)$$