Risolvi 2x-5=sqrt{x^2-7}

$$2 x - 5 = \sqrt { x ^ { 2 } - 7 }$$

Trova x

$$x=4$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(2x-5\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}-7} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}-7.

$$4x^{2}-20x+25=x^{2}-7$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}-20x+25-x^{2}=-7$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}-20x+25=-7$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati.

$$3x^{2}-20x+25+7=0$$

E 25 e 7 per ottenere 32.

$$3x^{2}-20x+32=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+32. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-20 ab=3\times 32=96$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 96.

$$-1,-96 -2,-48 -3,-32 -4,-24 -6,-16 -8,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-96=-97 -2-48=-50 -3-32=-35 -4-24=-28 -6-16=-22 -8-12=-20$$

La soluzione è la coppia che restituisce -20 come somma.

$$a=-12 b=-8$$

Riscrivi 3x^{2}-20x+32 come \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -8 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-4\right)-8\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(3x-8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e 3x-8=0.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$

Sostituisci 4 a x nell'equazione 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times 4-5=\sqrt{4^{2}-7}$$

Semplifica. Il valore x=4 soddisfa l'equazione.

$$3=3$$

Sostituisci \frac{8}{3} a x nell'equazione 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times \frac{8}{3}-5=\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-7}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{8}{3} soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

Elenca tutte le soluzioni di 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$