Risolvi 2x(2x+1)-10x-16=5x^2

$$2 x ( 2 x + 1 ) - 10 x - 16 = 5 x ^ { 2 }$$

Trova x

$$x=-4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per 2x+1.

$$4x^{2}+2x-10x-16=5x^{2}$$

Combina 2x e -10x per ottenere -8x.

$$4x^{2}-8x-16=5x^{2}$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}-8x-16-5x^{2}=0$$

Combina 4x^{2} e -5x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}-8x-16=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=-\left(-16\right)=16$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 16.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-4 b=-4$$

Riscrivi -x^{2}-8x-16 come \left(-x^{2}-4x\right)+\left(-4x-16\right).

$$\left(-x^{2}-4x\right)+\left(-4x-16\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x-4\right)+4\left(-x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune -x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x-4\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x-4=0 e x+4=0.

$$x=-4 x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per 2x+1.

$$4x^{2}+2x-10x-16=5x^{2}$$

Combina 2x e -10x per ottenere -8x.

$$4x^{2}-8x-16=5x^{2}$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}-8x-16-5x^{2}=0$$

Combina 4x^{2} e -5x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}-8x-16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -8 a b e -16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 64 a -64.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-8}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{8}{-2}$$

Dividi 8 per -2.

$$x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per 2x+1.

$$4x^{2}+2x-10x-16=5x^{2}$$

Combina 2x e -10x per ottenere -8x.

$$4x^{2}-8x-16=5x^{2}$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}-8x-16-5x^{2}=0$$

Combina 4x^{2} e -5x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}-8x-16=0$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$-x^{2}-8x=16$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-8x}{-1}=\frac{16}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-1}\right)x=\frac{16}{-1}$$

Dividi -8 per -1.

$$x^{2}+8x=\frac{16}{-1}$$

Dividi 16 per -1.

$$x^{2}+8x=-16$$

Dividi 8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 4. Quindi aggiungi il quadrato di 4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-16+4^{2}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x^{2}+8x+16=-16+16$$

Aggiungi -16 a 16.

$$x^{2}+8x+16=0$$

Fattore x^{2}+8x+16. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x+4=0 x+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-4 x=-4$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=-4$$