Risolvi 2x^2-58x+200=0

$$2 x ^ { 2 } - 58 x + 200 = 0$$

Trova x

$$x=4$$

$$x=25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}-29x+100=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+100. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-29 ab=1\times 100=100$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

La soluzione è la coppia che restituisce -29 come somma.

$$a=-25 b=-4$$

Riscrivi x^{2}-29x+100 come \left(x^{2}-25x\right)+\left(-4x+100\right).

$$\left(x^{2}-25x\right)+\left(-4x+100\right)$$

Fattori in x nel primo e -4 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-25\right)-4\left(x-25\right)$$

Fattorizza il termine comune x-25 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-25\right)\left(x-4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-25=0 e x-4=0.

$$x=25 x=4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-58x+200=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -58 a b e 200 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{\left(-58\right)^{2}-4\times 2\times 200}}{2\times 2}$$

Eleva -58 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-4\times 2\times 200}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-8\times 200}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 200.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-1600}}{2\times 2}$$

Aggiungi 3364 a -1600.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{1764}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 1764.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±42}{2\times 2}$$

L'opposto di -58 è 58.

$$x=\frac{58±42}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{58±42}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{58±42}{4} quando ± è più. Aggiungi 58 a 42.

$$x=\frac{100}{4}$$

Dividi 100 per 4.

$$x=25$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{58±42}{4} quando ± è meno. Sottrai 42 da 58.

$$x=\frac{16}{4}$$

Dividi 16 per 4.

$$x=4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=25 x=4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-58x+200=0$$

Sottrai 200 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-58x+200-200=-200$$

Sottraendo 200 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-58x=-200$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-58x}{2}=-\frac{200}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{58}{2}\right)x=-\frac{200}{2}$$

Dividi -58 per 2.

$$x^{2}-29x=-\frac{200}{2}$$

Dividi -200 per 2.

$$x^{2}-29x=-100$$

Dividi -29, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{29}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{29}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-29x+\left(-\frac{29}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{29}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{29}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-29x+\frac{841}{4}=-100+\frac{841}{4}$$

Aggiungi -100 a \frac{841}{4}.

$$x^{2}-29x+\frac{841}{4}=\frac{441}{4}$$

Fattore x^{2}-29x+\frac{841}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{29}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{29}{2}=-\frac{21}{2}$$

Aggiungi \frac{29}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=25 x=4$$