Risolvi 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,75+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0,75-1,198957881i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Sottraendo -5 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

Sottrai -5 da -1.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -3 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

Aggiungi 9 a -32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di -23.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} quando ± è più. Aggiungi 3 a i\sqrt{23}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{23} da 3.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da -5.

$$2x^{2}-3x=-4$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Dividi -4 per 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

Dividi -\frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

Aggiungi -2 a \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$