Risolvi 2x^2-28x+98=0

$$2 x ^ { 2 } - 28 x + 98 = 0$$

Trova x

$$x=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}-14x+49=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+49. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-14 ab=1\times 49=49$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 49.

$$-1,-49 -7,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-49=-50 -7-7=-14$$

La soluzione è la coppia che restituisce -14 come somma.

$$a=-7 b=-7$$

Riscrivi x^{2}-14x+49 come \left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right)$$

Fattori in x nel primo e -7 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-7\right)-7\left(x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x-7\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(x-7\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi x-7=0.

$$x=7$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -28 a b e 98 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

Eleva -28 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-8\times 98}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 98.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-784}}{2\times 2}$$

Aggiungi 784 a -784.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-28}{2\times 2}$$

L'opposto di -28 è 28.

$$x=\frac{28}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{28}{4}$$

Dividi 28 per 4.

$$x=7$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

Sottrai 98 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-28x+98-98=-98$$

Sottraendo 98 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-28x=-98$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-28x}{2}=-\frac{98}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{2}\right)x=-\frac{98}{2}$$

Dividi -28 per 2.

$$x^{2}-14x=-\frac{98}{2}$$

Dividi -98 per 2.

$$x^{2}-14x=-49$$

Dividi -14, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -7. Quindi aggiungi il quadrato di -7 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-49+\left(-7\right)^{2}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x^{2}-14x+49=-49+49$$

Aggiungi -49 a 49.

$$x^{2}-14x+49=0$$

Fattore x^{2}-14x+49. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-7=0 x-7=0$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=7 x=7$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=7$$