Risolvi 2x^2+14x-4=-x^2+3x

$$2 x ^ { 2 } + 14 x - 4 = - x ^ { 2 } + 3 x$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Combina 2x^{2} e x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Combina 14x e -3x per ottenere 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 11 come somma.

$$a=-1 b=12$$

Riscrivi 3x^{2}+11x-4 come \left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-1=0 e x+4=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Combina 2x^{2} e x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Combina 14x e -3x per ottenere 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 11 a b e -4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

Aggiungi 121 a 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-11±13}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±13}{6} quando ± è più. Aggiungi -11 a 13.

$$x=\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±13}{6} quando ± è meno. Sottrai 13 da -11.

$$x=-\frac{24}{6}$$

Dividi -24 per 6.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Combina 2x^{2} e x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Combina 14x e -3x per ottenere 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$3x^{2}+11x=4$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{4}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{4}{3}$$

Dividi \frac{11}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{11}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{11}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a \frac{121}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Fattore x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Sottrai \frac{11}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$