Risolvi 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Trova t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2t^{2}+at+bt-9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-6 b=3$$

Riscrivi 2t^{2}-3t-9 come \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

Fattori in 2t nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Fattorizza il termine comune t-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-3=0 e 2t+3=0.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -3 a b e -9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Aggiungi 9 a 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{3±9}{4} quando ± è più. Aggiungi 3 a 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Dividi 12 per 4.

$$t=3$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{3±9}{4} quando ± è meno. Sottrai 9 da 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$t=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Sottraendo -9 da se stesso rimane 0.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Sottrai -9 da 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Dividi -\frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Aggiungi \frac{9}{2} a \frac{9}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Fattore t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$