Risolvi 2r^2-r-3=0

$$2 r ^ { 2 } - r - 3 = 0$$

Trova r

$$r=-1$$

$$r = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2r^{2}+ar+br-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-3 b=2$$

Riscrivi 2r^{2}-r-3 come \left(2r^{2}-3r\right)+\left(2r-3\right).

$$\left(2r^{2}-3r\right)+\left(2r-3\right)$$

Scomponi r in 2r^{2}-3r.

$$r\left(2r-3\right)+2r-3$$

Fattorizza il termine comune 2r-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2r-3\right)\left(r+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2r-3=0 e r+1=0.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2r^{2}-r-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -1 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -3.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 2}$$

Aggiungi 1 a 24.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 2}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$r=\frac{1±5}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$r=\frac{1±5}{4}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{1±5}{4} quando ± è più. Aggiungi 1 a 5.

$$r=\frac{6}{4}$$

Riduci la frazione \frac{6}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$r=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{1±5}{4} quando ± è meno. Sottrai 5 da 1.

$$r=-\frac{4}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$r=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}-r-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2r^{2}-r-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$2r^{2}-r=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$2r^{2}-r=3$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2r^{2}-r}{2}=\frac{3}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r=\frac{3}{2}$$

Dividi -\frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a \frac{1}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$$

Fattore r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Semplifica.

$$r-\frac{1}{4}=\frac{5}{4} r-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$$

Aggiungi \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$