Risolvi 2z^2+3z+2=0

$$2 { z }^{ 2 } +3z+2=0$$

Trova z

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}\approx -0,75+0,661437828i$$

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}\approx -0,75-0,661437828i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 3 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 2}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-16}}{2\times 2}$$

Aggiungi 9 a -16.

$$z=\frac{-3±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di -7.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4} quando ± è più. Aggiungi -3 a i\sqrt{7}.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{7} da -3.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2z^{2}+3z+2-2=-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$2z^{2}+3z=-2$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2z^{2}+3z}{2}=-\frac{2}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-\frac{2}{2}$$

Dividi -2 per 2.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-1$$

Dividi \frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-1+\frac{9}{16}$$

Aggiungi -1 a \frac{9}{16}.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Fattore z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Semplifica.

$$z+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} z+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Sottrai \frac{3}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$