Risolvi 2x^2+x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0,25-1,198957881i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 1 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Aggiungi 1 a -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} quando ± è più. Aggiungi -1 a i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{23} da -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

Sottraendo 3 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+x=-3$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Dividi \frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Aggiungi -\frac{3}{2} a \frac{1}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Sottrai \frac{1}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$