Risolvi 2x^2+2x=5

$$2 { x }^{ 2 } +2x=5$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{11} - 1}{2} \approx 1,158312395$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}-1}{2}\approx -2,158312395$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+2x=5$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+2x-5=5-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+2x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 2 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+40}}{2\times 2}$$

Aggiungi 4 a 40.

$$x=\frac{-2±\sqrt{44}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 44.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{11}}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{11}}{4} quando ± è più. Aggiungi -2 a 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-2}{4}$$

Dividi -2+2\sqrt{11} per 4.

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{11}}{4} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{11} da -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-2}{4}$$

Dividi -2-2\sqrt{11} per 4.

$$x=\frac{-\sqrt{11}-1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{11}-1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x=5$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{5}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{5}{2}$$

Dividi 2 per 2.

$$x^{2}+x=\frac{5}{2}$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{11}{4}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{11}-1}{2}$$