Risolvi 18x^2+33x=180

$$18 { x }^{ 2 } +33x=180$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2,375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4,209124378$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$18x^{2}+33x=180$$

Sottrai 180 da entrambi i lati dell'equazione.

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

Sottraendo 180 da se stesso rimane 0.

$$18x^{2}+33x-180=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 18 a a, 33 a b e -180 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Eleva 33 al quadrato.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Moltiplica -4 per 18.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Moltiplica -72 per -180.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

Aggiungi 1089 a 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

Calcola la radice quadrata di 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

Moltiplica 2 per 18.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} quando ± è più. Aggiungi -33 a 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Dividi -33+3\sqrt{1561} per 36.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} quando ± è meno. Sottrai 3\sqrt{1561} da -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Dividi -33-3\sqrt{1561} per 36.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}+33x=180$$

Dividi entrambi i lati per 18.

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

La divisione per 18 annulla la moltiplicazione per 18.

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

Riduci la frazione \frac{33}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

Dividi 180 per 18.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

Dividi \frac{11}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{11}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{11}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

Aggiungi 10 a \frac{121}{144}.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

Fattore x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

Sottrai \frac{11}{12} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$