Risolvi 168=r^2+2r

$$168 = r ^ { 2 } + 2 r$$

Trova r

$$r=-14$$

$$r=12$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$r^{2}+2r=168$$

Sottrai 168 da entrambi i lati.

$$r^{2}+2r-168=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore r^{2}+2r-168 utilizzando la formula r^{2}+\left(a+b\right)r+ab=\left(r+a\right)\left(r+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=-168$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-12 b=14$$

Riscrivi scomposte espressione \left(r+a\right)\left(r+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(r-12\right)\left(r+14\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere r-12=0 e r+14=0.

$$r=12 r=-14$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$r^{2}+2r=168$$

Sottrai 168 da entrambi i lati.

$$r^{2}+2r-168=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come r^{2}+ar+br-168. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=1\left(-168\right)=-168$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-12 b=14$$

Riscrivi r^{2}+2r-168 come \left(r^{2}-12r\right)+\left(14r-168\right).

$$\left(r^{2}-12r\right)+\left(14r-168\right)$$

Fattori in r nel primo e 14 nel secondo gruppo.

$$r\left(r-12\right)+14\left(r-12\right)$$

Fattorizza il termine comune r-12 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(r-12\right)\left(r+14\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere r-12=0 e r+14=0.

$$r=12 r=-14$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$r^{2}+2r=168$$

Sottrai 168 da entrambi i lati.

$$r^{2}+2r-168=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 2 a b e -168 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-168\right)}}{2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$r=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-168\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -168.

$$r=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2}$$

Aggiungi 4 a 672.

$$r=\frac{-2±\sqrt{676}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$r=\frac{-2±26}{2}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-2±26}{2} quando ± è più. Aggiungi -2 a 26.

$$r=\frac{24}{2}$$

Dividi 24 per 2.

$$r=12$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-2±26}{2} quando ± è meno. Sottrai 26 da -2.

$$r=-\frac{28}{2}$$

Dividi -28 per 2.

$$r=-14$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=12 r=-14$$

Procedura per completare il quadrato

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$r^{2}+2r=168$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}+2r+1^{2}=168+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$r^{2}+2r+1=168+1$$

Aggiungi 168 a 1.

$$r^{2}+2r+1=169$$

Fattore r^{2}+2r+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+1\right)^{2}=169$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r+1\right)^{2}}=\sqrt{169}$$

Semplifica.

$$r+1=13 r+1=-13$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$r=12 r=-14$$