Risolvi 16b^2-44b+10=0

$$16 b ^ { 2 } - 44 b + 10 = 0$$

Trova b

$$b=\frac{1}{4}=0,25$$

$$b = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 2.

$$8b^{2}-22b+5=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8b^{2}+ab+bb+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-22 ab=8\times 5=40$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

La soluzione è la coppia che restituisce -22 come somma.

$$a=-20 b=-2$$

Riscrivi 8b^{2}-22b+5 come \left(8b^{2}-20b\right)+\left(-2b+5\right).

$$\left(8b^{2}-20b\right)+\left(-2b+5\right)$$

Fattori in 4b nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$4b\left(2b-5\right)-\left(2b-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 2b-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2b-5\right)\left(4b-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2b-5=0 e 4b-1=0.

$$b=\frac{5}{2} b=\frac{1}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$16b^{2}-44b+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 16 a a, -44 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\times 10}}{2\times 16}$$

Eleva -44 al quadrato.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\times 10}}{2\times 16}$$

Moltiplica -4 per 16.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\times 10}}{2\times 16}$$

Moltiplica -64 per 10.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-640}}{2\times 16}$$

Aggiungi 1936 a -640.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1296}}{2\times 16}$$

Calcola la radice quadrata di 1296.

$$b=\frac{-\left(-44\right)±36}{2\times 16}$$

L'opposto di -44 è 44.

$$b=\frac{44±36}{2\times 16}$$

Moltiplica 2 per 16.

$$b=\frac{44±36}{32}$$

Ora risolvi l'equazione b=\frac{44±36}{32} quando ± è più. Aggiungi 44 a 36.

$$b=\frac{80}{32}$$

Riduci la frazione \frac{80}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 16.

$$b=\frac{5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione b=\frac{44±36}{32} quando ± è meno. Sottrai 36 da 44.

$$b=\frac{8}{32}$$

Riduci la frazione \frac{8}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$b=\frac{1}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$b=\frac{5}{2} b=\frac{1}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$16b^{2}-44b+10=0$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$16b^{2}-44b+10-10=-10$$

Sottraendo 10 da se stesso rimane 0.

$$16b^{2}-44b=-10$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$\frac{16b^{2}-44b}{16}=-\frac{10}{16}$$

La divisione per 16 annulla la moltiplicazione per 16.

$$b^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)b=-\frac{10}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-44}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b=-\frac{10}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b=-\frac{5}{8}$$

Dividi -\frac{11}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b+\frac{121}{64}=-\frac{5}{8}+\frac{121}{64}$$

Aggiungi -\frac{5}{8} a \frac{121}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$b^{2}-\frac{11}{4}b+\frac{121}{64}=\frac{81}{64}$$

Fattore b^{2}-\frac{11}{4}b+\frac{121}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Semplifica.

$$b-\frac{11}{8}=\frac{9}{8} b-\frac{11}{8}=-\frac{9}{8}$$

Aggiungi \frac{11}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$b=\frac{5}{2} b=\frac{1}{4}$$