Risolvi 12x^2-10x+2=0

$$12 x ^ { 2 } - 10 x + 2 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 2.

$$6x^{2}-5x+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=6\times 1=6$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-3 b=-2$$

Riscrivi 6x^{2}-5x+1 come \left(6x^{2}-3x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$3x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e 3x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$12x^{2}-10x+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 12 a a, -10 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 12\times 2}}{2\times 12}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 12\times 2}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-48\times 2}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per 2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96}}{2\times 12}$$

Aggiungi 100 a -96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{4}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2}{2\times 12}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±2}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{10±2}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±2}{24} quando ± è più. Aggiungi 10 a 2.

$$x=\frac{12}{24}$$

Riduci la frazione \frac{12}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 12.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±2}{24} quando ± è meno. Sottrai 2 da 10.

$$x=\frac{8}{24}$$

Riduci la frazione \frac{8}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-10x+2=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$12x^{2}-10x+2-2=-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$12x^{2}-10x=-2$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$\frac{12x^{2}-10x}{12}=-\frac{2}{12}$$

La divisione per 12 annulla la moltiplicazione per 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{12}\right)x=-\frac{2}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=-\frac{2}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Dividi -\frac{5}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Aggiungi -\frac{1}{6} a \frac{25}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

Aggiungi \frac{5}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$