Risolvi 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Trova x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx+9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=6 b=6$$

Riscrivi 4x^{2}+12x+9 come \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 12 a a, 36 a b e 27 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Eleva 36 al quadrato.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Aggiungi 1296 a -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-36}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Sottrai 27 da entrambi i lati dell'equazione.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Sottraendo 27 da se stesso rimane 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

La divisione per 12 annulla la moltiplicazione per 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Dividi 36 per 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-27}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Aggiungi -\frac{9}{4} a \frac{9}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Fattore x^{2}+3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=-\frac{3}{2}$$