Risolvi 10y^2+19y+6

$$10 { y }^{ 2 } +19y+6$$

Scomponi in fattori

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 10y^{2}+ay+by+6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=19 ab=10\times 6=60$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

La soluzione è la coppia che restituisce 19 come somma.

$$a=4 b=15$$

Riscrivi 10y^{2}+19y+6 come \left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right).

$$\left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right)$$

Fattori in 2y nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2y\left(5y+2\right)+3\left(5y+2\right)$$

Fattorizza il termine comune 5y+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}+19y+6=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Eleva 19 al quadrato.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Moltiplica -4 per 10.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-40\times 6}}{2\times 10}$$

Moltiplica -40 per 6.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 10}$$

Aggiungi 361 a -240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 10}$$

Moltiplica 2 per 10.

$$y=\frac{-19±11}{20}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-19±11}{20} quando ± è più. Aggiungi -19 a 11.

$$y=-\frac{8}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-8}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-19±11}{20} quando ± è meno. Sottrai 11 da -19.

$$y=-\frac{30}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{2}{5} e x_{2} con -\frac{3}{2}.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y+\frac{2}{5}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Aggiungi \frac{2}{5} a y trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Aggiungi \frac{3}{2} a y trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\times \frac{2y+3}{2}$$

Moltiplica \frac{5y+2}{5} per \frac{2y+3}{2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{5\times 2}$$

Moltiplica 5 per 2.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{10}$$

Annulla il massimo comune divisore 10 in 10 e 10.

$$10y^{2}+19y+6=\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Calcola

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$