Risolvi -51t+49t^2=105

$$-51t+49 { t }^{ 2 } = 105$$

Trova t

$$t = \frac{\sqrt{23181} + 51}{98} \approx 2,074011008$$

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}\approx -1,033194681$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$49t^{2}-51t=105$$

Sottrai 105 da entrambi i lati dell'equazione.

$$49t^{2}-51t-105=105-105$$

Sottraendo 105 da se stesso rimane 0.

$$49t^{2}-51t-105=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 49 a a, -51 a b e -105 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{\left(-51\right)^{2}-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Eleva -51 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Moltiplica -4 per 49.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-196\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Moltiplica -196 per -105.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601+20580}}{2\times 49}$$

Aggiungi 2601 a 20580.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

L'opposto di -51 è 51.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

Moltiplica 2 per 49.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} quando ± è più. Aggiungi 51 a \sqrt{23181}.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{23181} da 51.

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-51t=105$$

Dividi entrambi i lati per 49.

$$\frac{49t^{2}-51t}{49}=\frac{105}{49}$$

La divisione per 49 annulla la moltiplicazione per 49.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{105}{49}$$

Riduci la frazione \frac{105}{49} ai minimi termini estraendo e annullando 7.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{15}{7}$$

Dividi -\frac{51}{49}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{51}{98}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{51}{98} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{51}{98} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{15}{7}+\frac{2601}{9604}$$

Aggiungi \frac{15}{7} a \frac{2601}{9604} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{23181}{9604}$$

Fattore t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{23181}{9604}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{23181}{9604}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{51}{98}=\frac{\sqrt{23181}}{98} t-\frac{51}{98}=-\frac{\sqrt{23181}}{98}$$

Aggiungi \frac{51}{98} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$