Risolvi -3x^2-2x+5=0

$$-3 { x }^{ 2 } -2x+5 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-2 ab=-3\times 5=-15$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -15.

$$1,-15 3,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -2 come somma.

$$a=3 b=-5$$

Riscrivi -3x^{2}-2x+5 come \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$3x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+1=0 e 3x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, -2 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 4 a 60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\left(-3\right)}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±8}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{2±8}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±8}{-6} quando ± è più. Aggiungi 2 a 8.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{10}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±8}{-6} quando ± è meno. Sottrai 8 da 2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dividi -6 per -6.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{5}{3} x=1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-3x^{2}-2x+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$-3x^{2}-2x=-5$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}-2x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)x=-\frac{5}{-3}$$

Dividi -2 per -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

Dividi -5 per -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Dividi \frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Aggiungi \frac{5}{3} a \frac{1}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

Sottrai \frac{1}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$